En la construcción de las teorías matemáticas en la Grecia Antigua, muy temprano se específico una clase específica de problemas para la solución de los cuales, era necesario investigar los pasos al límite, los procesos infinitos, la continuidad...
Algunos grupos de científicos antiguos buscan la salida de estas dificultades en la aplicación a la matematica de las ideas filosóficas atomicistas. El ejemplo más notable lo constituye Demócrito. Igualmente florecieron teorías totalmente contrarias a esta concepción. Tengamos en cuenta, por ejemplo, las paradojas de Zenón. Otro de los métodos más antiguos de este género es el método de exhaución, atribuido a Euxodo y aplicable al cálculo de áreas de figuras, volúmenes de cuerpos, longitud de curvas, búsqueda de subtangentes... Con el método se demuestra la unicidad del límite, pero no se soluciona el problema sobre la existencia de límite; aun así se considera la primera forma del método de límites.
Los métodos infinitesimales en la Antigua Grecia, sirvieron de punto de partida para muchas investigaciones de los matemáticos de los siglos XVI y XVII. Particularmente se estudiaban los métodos de Arquímedes, en especial aquellos referidos al cálculo de volúmenes. El propio Leibniz escribió que "estudiando los trabajos de Arquímedes cesas de admirar los éxitos de los matemáticos actuales".
El concepto de límite fue el primer paso, pero hubo que esperar hasta el siglo XVII, para que los métodos integrales y diferenciales y, en esencia, el análisis infinitesimal se diferenciaran como disciplinas estructuradas dentro de las matemáticas.
Métodos Integrales: Al comienzo, estos métodos se elaboraban, acumulaban e independizaban en el transcurso de la resolución de problemas sobre el cálculo de volúmenes, áreas, centros de gravedad... formándose como métodos de integración definida.
El primero de los métodos publicado fue el de las operaciones directas con infinitesimales actuales. Apareció en el año 1615 en las obras de Kepler. Para la demostración matemática de las leyes de Kepler fue necesario utilizar las magnitudes infinitesimales. Sin embargo, fue en su obra "Nueva esteriometría de toneles de vino..." donde expuso su método de utilización de magnitudes infinitesimales y los fundamentos para la sumación de éstos.
Muchos científicos dedicaron sus trabajos al perfeccionamiento del lado operativo de esta empresa, y a la explicación racional de los conceptos que surgían sobre esto. La mayor fama la adquirió la geometría de los indivisibles, creada por Cavalieri, pensado como un método universal de la geometría. Este método fue creado para la determinación de las medidas de las figuras planas y cuerpos, los cuales se representaban como elementos compuestos de elementos de dimensión menor. Así, las figuras constan de segmentos de rectas paralelas y los cuerpos de planos paralelos. Sin embargo, este método era incapaz de medir longitudes de curvas, ya que los correspondientes indivisibles (los puntos) eran adimensionales. Pese a ello, la integración definida en forma de cuadraturas geométicas, adquirió fama en la primera mitad del siglo XVII, debido a la gran cantidad de problemas que podían resolver.
Las ideas que incluyen elementos de integración definida abarcaban hacia los años 60 del siglo XVII amplias clases de funciones algebraicas y trigonométricas.
Era necesario sólo un impulso, la consideración total de los métodos desde un punto de vista único, para cambiar radicalmente toda la problemática de integración y crear el cálculo integral.
Métodos Diferenciales: En las matemáticas del siglo XVII junto a los métodos integrales, se formaron también los métodos diferenciales, dando sus primeros pasos en la resolución de problemas. Tales problemas eran en aquella época de tres tipos: determinación de las tangentes a las curvas, búsqueda de máximos y mínimos de funciones y búsqueda de las condiciones de existencia de raíces múltiples de las ecuaciones algebráicas.
En el transcurso de este siglo los problemas diferenciales, aun se resolvían por los métodos más diversos. veamos algunos casos.
Ya en la escuela de Galileo, para la búsqueda de tangentes y normales a las curvas, se aplicaban simultáneamente los métodos cinemáticos, considerando diferentes lanzamientos y movimientos complejos, determinando la tangente en cualquier punto de la trayectoria. Torricelli, admirador de Galileo, estudió las trayectorias parabólicas que siguen los proyectiles disparados desde un punto fijo con velocidad inicial constante, pero con ángulos de elevación sobre la horizontal variables, descubriendo que la envolvente de todas esas parábolas era otra parábola, la llamada parábola de seguridad. Al pasar de la ecuación de la distancia a la de la velocidad, ambas en función del tiempo, y recíprocamente, se dio cuenta Torricelli del carácter inverso que presentan los problemas de cuadraturas en determinación de tangentes. Sin embargo, su muerte repentina a los 39 años, truncó lo que podía haber sido la invención del cálculo infinitesimal.
La exposición sistemática del método y sus aplicaciones más importantes las dio Roberval en 1640.
La acumulación de los métodos del cálculo diferencial adquirió su forma más clara en Fermat, quien resolvió el problema de la determinación de los valores extremales de una función f(x). También está próximo al cálculo diferencial su método de búsqueda de las tangentes a las curvas algebraicas, si bien las funciones estudiadas eran polinómicas.
Hacia mediados del siglo XVII se acumuló una reserva lo suficientemente grande de recursos de resolución de problemas, actualmente resolubles mediante le diferenciación. Sin embargo, no habían sido aun
Análisis Infinitesimal: La última etapa del desarrollo del análisis infinitesimal, fue el establecimiento de la relación e inversibilidad mutua entre las investigaciones diferenciales e integrales, y a partir de aquí la formación del cálculo diferencial e integral. Este último surgió como una parte independiente de las matemáticas, casi simultáneamente en dos formas diferentes: en la forma de teoría de fluxiones de Newton y bajo la forma del cálculo de diferenciales de G.W. Leibniz.
Teoría de fluxiones: En el método de fluxiones se estudian las magnitudes variables, introducidas como abstracción de las diferentes formas del movimiento mecánico continuo. estas magnitudes variables se consideran cantidades que van fluyendo o "fluentes". después se introducen las velocidades de la corriente de los fluentes, esto es, las derivadas con relación al tiempo. Ellas se denominan fluxiones, que a su vez son también variables y poseen también sus fluxiones y así sucesivamente. Los símbolos de la primera, segunda... fluxiones, si el fluente se designa por y serán Para el cálculo de las velocidades instantáneas, es decir, de las fluxiones, se exigían variaciones infinitesimales de los fluentes, denominados por Newton momentos.
Algunos grupos de científicos antiguos buscan la salida de estas dificultades en la aplicación a la matematica de las ideas filosóficas atomicistas. El ejemplo más notable lo constituye Demócrito. Igualmente florecieron teorías totalmente contrarias a esta concepción. Tengamos en cuenta, por ejemplo, las paradojas de Zenón. Otro de los métodos más antiguos de este género es el método de exhaución, atribuido a Euxodo y aplicable al cálculo de áreas de figuras, volúmenes de cuerpos, longitud de curvas, búsqueda de subtangentes... Con el método se demuestra la unicidad del límite, pero no se soluciona el problema sobre la existencia de límite; aun así se considera la primera forma del método de límites.
Los métodos infinitesimales en la Antigua Grecia, sirvieron de punto de partida para muchas investigaciones de los matemáticos de los siglos XVI y XVII. Particularmente se estudiaban los métodos de Arquímedes, en especial aquellos referidos al cálculo de volúmenes. El propio Leibniz escribió que "estudiando los trabajos de Arquímedes cesas de admirar los éxitos de los matemáticos actuales".
El concepto de límite fue el primer paso, pero hubo que esperar hasta el siglo XVII, para que los métodos integrales y diferenciales y, en esencia, el análisis infinitesimal se diferenciaran como disciplinas estructuradas dentro de las matemáticas.
Métodos Integrales: Al comienzo, estos métodos se elaboraban, acumulaban e independizaban en el transcurso de la resolución de problemas sobre el cálculo de volúmenes, áreas, centros de gravedad... formándose como métodos de integración definida.
El primero de los métodos publicado fue el de las operaciones directas con infinitesimales actuales. Apareció en el año 1615 en las obras de Kepler. Para la demostración matemática de las leyes de Kepler fue necesario utilizar las magnitudes infinitesimales. Sin embargo, fue en su obra "Nueva esteriometría de toneles de vino..." donde expuso su método de utilización de magnitudes infinitesimales y los fundamentos para la sumación de éstos.
Muchos científicos dedicaron sus trabajos al perfeccionamiento del lado operativo de esta empresa, y a la explicación racional de los conceptos que surgían sobre esto. La mayor fama la adquirió la geometría de los indivisibles, creada por Cavalieri, pensado como un método universal de la geometría. Este método fue creado para la determinación de las medidas de las figuras planas y cuerpos, los cuales se representaban como elementos compuestos de elementos de dimensión menor. Así, las figuras constan de segmentos de rectas paralelas y los cuerpos de planos paralelos. Sin embargo, este método era incapaz de medir longitudes de curvas, ya que los correspondientes indivisibles (los puntos) eran adimensionales. Pese a ello, la integración definida en forma de cuadraturas geométicas, adquirió fama en la primera mitad del siglo XVII, debido a la gran cantidad de problemas que podían resolver.
Las ideas que incluyen elementos de integración definida abarcaban hacia los años 60 del siglo XVII amplias clases de funciones algebraicas y trigonométricas.
Era necesario sólo un impulso, la consideración total de los métodos desde un punto de vista único, para cambiar radicalmente toda la problemática de integración y crear el cálculo integral.
Métodos Diferenciales: En las matemáticas del siglo XVII junto a los métodos integrales, se formaron también los métodos diferenciales, dando sus primeros pasos en la resolución de problemas. Tales problemas eran en aquella época de tres tipos: determinación de las tangentes a las curvas, búsqueda de máximos y mínimos de funciones y búsqueda de las condiciones de existencia de raíces múltiples de las ecuaciones algebráicas.
En el transcurso de este siglo los problemas diferenciales, aun se resolvían por los métodos más diversos. veamos algunos casos.
Ya en la escuela de Galileo, para la búsqueda de tangentes y normales a las curvas, se aplicaban simultáneamente los métodos cinemáticos, considerando diferentes lanzamientos y movimientos complejos, determinando la tangente en cualquier punto de la trayectoria. Torricelli, admirador de Galileo, estudió las trayectorias parabólicas que siguen los proyectiles disparados desde un punto fijo con velocidad inicial constante, pero con ángulos de elevación sobre la horizontal variables, descubriendo que la envolvente de todas esas parábolas era otra parábola, la llamada parábola de seguridad. Al pasar de la ecuación de la distancia a la de la velocidad, ambas en función del tiempo, y recíprocamente, se dio cuenta Torricelli del carácter inverso que presentan los problemas de cuadraturas en determinación de tangentes. Sin embargo, su muerte repentina a los 39 años, truncó lo que podía haber sido la invención del cálculo infinitesimal.
La exposición sistemática del método y sus aplicaciones más importantes las dio Roberval en 1640.
La acumulación de los métodos del cálculo diferencial adquirió su forma más clara en Fermat, quien resolvió el problema de la determinación de los valores extremales de una función f(x). También está próximo al cálculo diferencial su método de búsqueda de las tangentes a las curvas algebraicas, si bien las funciones estudiadas eran polinómicas.
Hacia mediados del siglo XVII se acumuló una reserva lo suficientemente grande de recursos de resolución de problemas, actualmente resolubles mediante le diferenciación. Sin embargo, no habían sido aun
Análisis Infinitesimal: La última etapa del desarrollo del análisis infinitesimal, fue el establecimiento de la relación e inversibilidad mutua entre las investigaciones diferenciales e integrales, y a partir de aquí la formación del cálculo diferencial e integral. Este último surgió como una parte independiente de las matemáticas, casi simultáneamente en dos formas diferentes: en la forma de teoría de fluxiones de Newton y bajo la forma del cálculo de diferenciales de G.W. Leibniz.
Teoría de fluxiones: En el método de fluxiones se estudian las magnitudes variables, introducidas como abstracción de las diferentes formas del movimiento mecánico continuo. estas magnitudes variables se consideran cantidades que van fluyendo o "fluentes". después se introducen las velocidades de la corriente de los fluentes, esto es, las derivadas con relación al tiempo. Ellas se denominan fluxiones, que a su vez son también variables y poseen también sus fluxiones y así sucesivamente. Los símbolos de la primera, segunda... fluxiones, si el fluente se designa por y serán Para el cálculo de las velocidades instantáneas, es decir, de las fluxiones, se exigían variaciones infinitesimales de los fluentes, denominados por Newton momentos.
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